摘 要： 极限思想谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题。
关键词： 极限思想 产生 发展 完善 思维功能
1.极限思想的产生
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
2.极限思想的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，对求极限得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础。他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”但牛顿的极限观念是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当ｎ无限增大时，无限地接近于常数Ａ，那么就说以Ａ为极限。”人们容易接受这种描述性语言。现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
3.极限思想的完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，许多人尝试解决微积分理论基础的问题，但都未能如愿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚，对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解，对有限和无限的对立统一关系还不明确。人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。”它接近于极限的正确定义。然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（x）的导数定义为差商Δy／Δx的极限f′（x），并强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别的，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。即在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓f(x)＝Ａ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜f(x)－Ａ｜＜ε恒成立。”
这个定义借助不等式，通过ε和Ｎ之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
4.极限思想的思维功能
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从直线形认识曲线形，从不变认识变，从量变认识质变，从近似认识精确。
极限思想反映了近似与精确的对立统一关系，他们在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要方法。数学分析中的“部分和”、“圆内接正多边形面积”、“矩形的面积”、“平均速度”，分别是相应的“无穷级数和”、“圆面积”、“曲边梯形的面积”、“瞬时速度”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来得到精确的。
5.用极限思想所建立的概念
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。利用极限的思想方法可得出连续函数、导数、定积分、广义积分的敛散性、级数的敛散性、多元函数的偏导数、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
参考文献：
［１］李心渝主编.高等数学.北京理工大学出版社，2007.4.