【摘要】 本文利用概率论的方法和工具来解决初等代数和数学分析中的一些问题:证明不等式,求积分和极限. 利用概率的性质和方差的非负性证明不等式;利用概率分布和中心极限定律求极限;利用随机变量的数字特征､密度函数的性质､特征函数和辛钦大数定律求积分.
【关键词】 概率论 积分 极限 应用
1. 引 言
初等代数､数学分析是概率论的基础,而概率论是具有广泛应用的数学分支. 对于某些复杂的问题,使用初等代数和数学分析中的方法是难以解决的,但是利用概率论的方法去解决却很简便. 本文主要通过构建概率模型､利用中心极限定理求极限;利用方差､概率的性质证明不等式;利用常见分布的数字特征､特征函数以及大数定律求积分.
2. 证明不等式
2.1利用概率的性质证明不等式
灵活地利用概率的性质证明一些不等式,能起到事半功倍的作用.
例1 已知0 ≤ α ≤ ,0 ≤ β ≤,求证sinαsinβ ≤ sinα + sinβ ≤ 1 + sinαsinβ.
证明 由0 ≤ α ≤,0 ≤ β ≤,得0 ≤ sinα ≤ 1,0 ≤sin β ≤ 1,所以,可设sinα,sinβ 分别是两个独立事件A与B的概率,即P(A) = sinα,P(B) =sinβ.
根据概率的加法公式和相互独立性得
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B). 由于0 ≤ P(A∪B) ≤ 1,所以0 ≤ sinα + sinβ - sinαsinβ≤ 1,即sinαsinβ ≤ sinα + sinβ ≤ 1 + sinαsinβ.
2.2利用方差的非负性证明不等式
我们利用随机变量X的方差Var(X)=E(X2) - (EX2)≥0,得到E(X2)≥(EX2),从而利用这个性质可以使得一些不等式的证明变得简单而快捷.
例2 求证≤ ,其中a1,a2,…,an为n 个正数.
证明 设离散型随机变量ξ~ a1 a2… an …,则
ξ2 ~ a12 a22…an2…, ~…….
由于0≤Dξ = Eξ2-(Eξ)2,所以(Eξ)2 ≤ Eξ2,
所以根据数学期望的定义得ai2 ≤ ai2,
即ai ≤,
即 ≤ .
3. 求极限
3.1构造概率分布模型求极限
数学分析中的数列极限问题的证明和计算有的比较繁琐,若能构造某随机变量的概率分布模型,用概率论的方法去解决,可达到事半功倍的效果.
3.2利用林德贝格—列维中心极限定理求极限
例3 求证 e-n=.
设ξ1,…,ξn,…独立同分布,且都服从参数为λ = 1的泊松分布,则ηn =ξi 服从参数为λ = n的泊松分布,则P(ηn =k) =e-n,k = 0,1,2,…
又因为E(ξi ) = D(ξi ) = 1,i = 1,2,…
所以由林德贝格-列维中心极限定理可得
e-n=P(ηn ≤ n) =
P≤ = Φ(0) =.
4. 求积分
4.1 利用随机变量的数字特征求 f(x)e-axdx类型积分,其中f(x)为多项式函数a > 0.
因为 f(x)e-axdx的被积函数中e-ax是参数为λ=a的指数分布的概率密度函数的一部分,并注意到 f(x)e- axdx =• f(x)ae-axdx,所以此类积分可以看成是随机变量函数f(x)期望的运算,其中X是服从参数为λ = a的指数分布的随机变量,从而可得 f(x)e-axdx =E(f(X)).
4.2利用密度函数的性质求 e dx(a > 0),
e dx(a > 0)类型积分
用数学分析方法无法计算出此类积分的值. 但用概率方法可以比较简捷地计算出它的值,注意到它的被积函数经过配方可得exp- ax -2 + c +,从而 e dx = e • e dx.又注意到正态分布的密度函数p(x) =e ,
-∞ < x < +∞,所以将此积分再经过变化可得
e dx = e • e dx =
e e dx.
注意到e dx中被积函数是参数u =,σ =的正态分布变量的密度函数,从而利用密度函数的性质可得e dx = 1,从而可得
e dx = e ,a > 0.
注意到被积函数是偶函数,从而可得
e dx = e dx=e ,a > 0 .
4.3利用特征函数求 cos ax•f(x)dx, sin ax•f(x)dx类型积分,其中f(x)可化成某随机变量的密度函数
因为eiax = cos ax + isin ax,
所以cos ax =, sin ax =,
所以E(cos aX) =,E(sin ax) =.
因此,若f(x)是某随机变量X的密度函数,?渍(t)是其特征函数时,
cos ax•f(x)dx = E(cos aX)= ,
cos ax•f(x)dx = E(sin aX)= .
4.4利用辛钦大数定律计算 f(x)dx类型积分
设某一随机变量X服从均匀分布U[0,1],则 f(x)dx = E(f(X)),所以由辛钦大数定律知,可以用f(X)的观察值的平均值去估计E(f(X)),从而得到 f(x)dx的估计值. 具体做法如下:先用计算机产生n个U(0,1) 的随机数xi,i = 1,…,n,然后对每个xi计算f(xi),最后得到 f(x)dx ≈.例如求 e dx,我们无法用数学分析的方法计算出来,我们可以用这种方法计算出它的值,遗憾的是这种方法算得的是估计值,但当n无限大时,估计值很接近真实值.
注意,若计算 f(x)dx,区间不是[0,1]区间,我们可以通过线性变换y =,将 f(x)dx化为[0,1]区间上的积分. 因此这种计算积分的方法具有普遍而重要的意义.
5. 小结
从上面讨论可知,运用概率论的方法去解决其他数学问题有一定的优越性,只要建立恰当的模型,问题就解得轻而易举,同时也说明各个学科之间联系是非常紧密的. 因此概率论方法是我们在教学研究中值得运用的方法.
【参考文献】
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注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”