摘要：本文分析了实变函数中的富比尼定理，并讨论了该定理在积分换序方面的应用。
关键词：富比尼定理；重积分；累次积分
一、 富比尼定理
定義1设ARp，BRq为两个非空点集，则Rp+q中的点集{（x，y）：x∈A，y∈B}称为A与B的直积，记为A×B。
定理1（非负可测函数情形的托涅利定理）设f（x，y）在A×BRp+q（A，B分别为Rp与Rq中的可测集）上非负可测，则对几乎处处x∈A，f（x，y）作为y的函数在B上可测且∫A×Bf（x，y）dxdy=∫Adx∫Bf（x，y）dy=∫Bdy∫Af（x，y）dx。
定理2（富比尼定理）设f（x，y）在A×BRp+q上可积函数，则对几乎处处x∈A，f（x，y）作为y的函数在B上可积；∫Bf（x，y）dy作为x的函数在A上的可积；且∫A×Bf（x，y）dxdy=∫Adx∫Bf（x，y）dy=∫Bdy∫Af（x，y）dx。
数学分析中，非负函数f（x）在[a，b]上的定积分∫baf（x）dx的几何意义是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=f（x）所围成曲边梯形的面积，非负可测函数的勒贝格积分也有类似的几何意义。设f（x）是ERn上的非负函数，则Rn+1中的点集{（x，z）：x∈E，0≤z 富比尼定理说明了高维积分和低维积分之间的关系，也是数学分析中重积分与累次积分之间关系的推广。我们可以看到，在交换积分次序问题上，勒贝格积分要求的条件比黎曼积分要求的条件弱得多，这是勒贝格积分理论的优越性之一。若把∫A×Bf（x，y）dxdy称为重积分，将∫Adx∫Bf（x，y）dy和∫Bdy∫Af（x，y）dx称为累次积分，则富比尼定理说明，在重积分存在的条件下，两个累次积分均存在且等于重积分。要证明重积分存在有时并不容易，这时可由f的两个累次积分其中一个存在来确定。但是f的两个累次积分其中一个存在并不能保证重积分存在。例如，设f（x，y）=x2-y2（x2-y2）2为定义在E=（0，1）×（0，1）上的函数，则f的两个累次积分别为 ∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy=∫1011+x2dx=π4，∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx=∫1011-y2dy=-π4。 由富比尼定理知，f在E上不可积。 二、 富比尼定理的应用 使用富比尼定理证明命题时，首先要验证命题是否满足定理条件，关键是将积分化为累次积分，这时要注意变化后被积函数的准确性和交换积分顺序技巧的应用。 例1设f（x，y）=y2-x2（x2-y2）2为定义在E=[0，1]×[0，1]上的函数，证明： ∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy≠∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx。 分析这与富比尼定理不矛盾，因为f在（0，1）×（0，1）上不可积，不满足富比尼定理的条件。事实上，当0 SymboleB@ 。故|f|在E上不可积，则f在E上也不可积。 证明由∫10f（x，y）dx=xx2+y21x=0=11+y2，则∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx=arctany10=π4， 另一方面，由∫10f（x，y）dy=yx2+y21y=0=-11+x2，从而∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy=∫10-11+x2dx=-arctanx10=-π4， 故∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy≠∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx。 例2对f（x，y）=e-ysin2xy交换积分次序，证明∫ SymboleB@ 0e-ysin2yydy=14ln5。 证明当y≠0时，∫10e-ysin2xydx=e-y∫10sin2xydx=e-ysin2xyy1x=0=e-ysin2yy。 又由e-ysin2xy≤e-y，e-y在[0，1]×[0，+ SymboleB@ ）上可积，由富比尼定理可得∫ SymboleB@ 0e-ysin2yydy=∫ SymboleB@ 0dy∫10e-ysin2xydx=∫10dx∫ SymboleB@ 0e-ysin2xydy=∫102x1+4x2dx=14ln5。 参考文献： [1]程其襄，张奠宇等.实变函数与泛函分析基础[M].2版.北京：高等教育出版社，2010. [2]周民强.实变函数论[M].2版.北京：北京大学出版社，2008. [3]孙清华，孙昊.实变函数内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2004. 作者简介： 叶一蔚，重庆市，重庆师范大学。